【ガチャの闇?】知っておきたいガチャと確率について(パズドラのレアガチャを例にしてやってみよう)

生活

今回は、レアガチャと確率についです。私は、パズドラというゲームをやっており、パズドラには、レアガチャというガチャがあります。現在、期間限定で『式神使いと妖』というレアガチャが開催中で、そのガチャのお目当ての当たりキャラ(以下、当たりキャラ。)である「火車の式神使い・セイナ」が出る確率が1.5%でした。ガチャを100回引いたとき、当たりキャラが出る確率はどれくらいになるのでしょうか。ということで、今回は、当たりキャラが出る確率を計算してみたいと思います。

tayuyu
tayuyu

どれくらいの確率で狙ったキャラが出るんだろう??

問題

当たりキャラが出る確率が1.5%のガチャを100回引いたら、当たりキャラが少なくとも1体出る確率を計算せよ。

当たりキャラの出る確率を\(p\)とします。また、ガチャを引く回数を\(n\)とします。

反復試行の確率

高校の数学で、反復試行の確率の公式を習います。いろいろ考えても難しいので、この公式に当てはめてみましょう。

1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とします。この試行を\(n\)回繰り返し行うとき、事象\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は

$$_{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$$

今回の問題を上記の文に当てはめてみます。

当たりキャラが「少なくとも1体当たる」は、「全部外れる」の余事象のため、まずは「全部外れる確率」を求めましょう。反復試行の公式に今回の問題を当てはめてみます。

ガチャを引いて当たりキャラが出る確率を\(p=\frac{1.5}{100}\)とします。この試行を\(n=100\)回繰り返し行うとき、全部外れる\(r=0\)確率は

$$_{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$$

$$_{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$$

$$=_{100}C_{0}p^{0}(1-p)^{100-0}$$

\(_{100}C_{0}=1\)より、

$$_{n}C_{0}=1$$

$$=(1-p)^{100}$$

\(p=\frac{1.5}{100}\), \(p^0=1\)より、

$$=\Bigl(\frac{98.5}{100}\Big)^{100}\simeq0.221=22.1\%$$

tayuyu
tayuyu

関数電卓を使えば、簡単に計算できるよ。

当たりキャラが1体も出ない確率が約22.1%なので、少なくとも1体当たりキャラが出る確率は、1-22.1%=77.9%となります。

魔法石(ガチャを引くための素材)1個を100円として、ガチャ1回で魔法石5個消費するから、ガチャ1回あたり500円。すなわち、ガチャを100回引くと5万円になる。5万円かけても約2割の人は、当たりキャラが出ないということになります。

ちなみに、今回の当たりキャラ「火車の式神使い・セイナ」は、300回引けば、約98.9%の確率で出てきます。

$$=\Bigl(\frac{98.5}{100}\Big)^{300}\simeq0.0107=1.07\%$$

tayuyu
tayuyu

ほぼ確実(約99%)に手に入れるには、約300回引かないといけないのか。

余談

ガチャの当たる確率が\(\frac{1}{n}\)、ガチャの試行回数を\(n\)としたとき、\(n\)を無限大に持っていくと、当たりキャラが1体も出ない確率は、

$$\lim_{n \to \infty}\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n$$

$$=\lim_{n \to \infty}\Big(1-\frac{n-1}{n}\Big)^n$$

$$=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\Big(\frac{n}{n-1}\Big)^n}$$

$$=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\Big(1+\frac{n}{n-1}\Big)^{n-1}\Big(1+\frac{n}{n-1}\Big)}$$

$$=\frac{1}{e}\simeq0.368$$

ネイピア数\(e\)の定義

$$\lim_{n \to \infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=e$$

になるんですよ。まさかの、ネイピア数\(e\)が出てくるんです。なんか不思議…

図:(1-1/x)^xのグラフ

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